1. 집합 F={0, 1, 2}에 대해 덧셈과 곱셈을 다음과 같이 정의하면 F는 체가 된다.
이때 덧셈에 대한 항등원과 곱셈에 대한 항등원을 구하고,
1과 2에 대하여 덧셈의 역원과 곱셈의 역원을 구하라.
| + | 0 | 1 | 2 | x | 0 | 1 | 2 | ||
| 0 | 0 | 1 | 2 | 0 | 0 | 0 | 0 | ||
| 1 | 1 | 2 | 0 | 1 | 0 | 1 | 2 | ||
| 2 | 2 | 0 | 1 | 2 | 0 | 2 | 1 |
[정의 8.1]
| (3). 덧셈에 대한 항등원 덧셈에 대한 항등원 0이 있어 k+0=k가 성립 (7). 곱셈에 대한 항등원 곱셈의 항등원 1이 있어 k·1=k 성립 |
덧셈의 항등원인 0이 존재하고, 곱셈의 항등원인 1이 존재하므로
덧셈에 대한 항등원은 0, 곱셈의 항등원은 1이다.
[정의 8.1]
| (4). 덧셈의 역원 덧셈의 역원 -k가 있어 k+(-k)=0이 성립 (8). 곱셈의 역원 $$ \small 0이\ 아닌\ k에\ 대해\ k^{-1}이\ 있어 k\cdot k^{-1}=1이\ 성립 $$ |
덧셈의 역원은 두 수를 더해 0이 되는 값을 찾으면 된다.
1의 덧셈에 대한 역원은 1+2=0 이므로, 역원은 2이다.
2의 덧셈에 대한 역원은 2+1=0 이므로, 역원은 1이다.
곱셈의 역원은 두 수를 곱해 1이 되는 값을 찾으면 된다.
1의 곱셈에 대한 역원은 1·1=1 이므로, 역원은 1이다.
2의 곱셈에 대한 역원은 2·2=1 이므로, 역원은 2이다.
$$ \small 2.\ Q(\sqrt{3})=\{a+b\sqrt{3}|a,\ b는\ 유리수\}는\ 체이다.\\ \small 이때, 2+\sqrt{3}의\ 곱셈에\ 대한\ 역원을\ 구하라$$
$$ \small 곱셈의\ 역원은 k\cdot k^{-1}=1\ 이다.$$
$$ \small (2+\sqrt{3})\cdot k=1$$
$$ \small \begin{align}k&=1\cdot (2+\sqrt{3})^{-1}\\&=\frac{1}{2+\sqrt{3}}\\&=\frac{1\times (2-\sqrt{3})}{2+\sqrt{3}\times (2-\sqrt{3})}\\&=\frac{2-\sqrt{3}}{2^{2}-(\sqrt{3})^{2}}\\&=\frac{2-\sqrt{3}}{4-3}\\&=\frac{2-\sqrt{3}}{1}\\&=2-\sqrt{3}\end{align}$$
3. 다음을 보여라.
(1)
S가 다음과 같이 벡터 B와 수직인 벡터의 집합이면
$$ \small S가\ R^{2}의\ 부분공간임을\ 보여라.$$
$$ \small S=\{A\in R^{2}| A\cdot B=B\cdot A=0\}$$
(2)
S가 다음과 같이 B, C와 수직인 벡터의 집합이면
$$ \small S가 R^{3}의 부분공간임을 보여라.$$
$$\small S=\{A\in R^{3}|A\cdot B=0, A\cdot C=0\}$$
[정의 8.4]
$$ \small (1).\ A, B\in S이면\ A+B\in S이다.$$
$$ \small (2).\ A\in S와 k\in F이면\ k\cdot A\in S이다.$$
(1)
$$ 0\cdot B=B\cdot 0 이므로,\ 0 \in S$$
$$ \small A \in S이므로,\ A_{1}\cdot B=0,\ A_{2}\cdot B=0\ 이다.$$
$$ \small 즉,\ (A_{1}+A_{2})\cdot B=A_{1}\cdot B+A_{2}\cdot B=0$$
$$ \small A \in S$$
$$ \small (k\cdot A)\cdot B=k(A\cdot B)=k(0)=0$$
$$ \small kA \in S$$
$$ \small 세\ 조건을\ 만족하므로,\ S는\ R^{2}의\ 부분공간이다.$$
(2)
$$ \small 0\cdot B=0,\ 0\cdot C=0이므로,\ 0 \in S$$
$$ \small (A_{1}+A_{2})\cdot B=A_{1}\cdot B+A_{2}\cdot B=0+0=0$$
$$ \small (A_{1}+A_{2})\cdot C=A_{1}\cdot C+A_{2}\cdot C=0+0=0$$
$$ \small (k\cdot A)\cdot B=k(A\cdot B)=k(0)=0$$
$$ \small (k\cdot A)\cdot C=k(A\cdot C)=k(0)=0$$
$$ \small 세\ 조건을\ 만족하여,\ S는 R^{3}의\ 부분공간이다.$$