1. 평면벡터 A=(2, 1)과 B=(-1, 2)에 대해서
(2A+3B)+(-3)(-A+B)를 성분으로 표시하라
$$ \small \begin{align}(2A+3B)+(-3)(-A+B)&=2A+3B+3A-3B\\&=5A\\&=5(2,1)\\&=(10,5)\end{align}$$
2. 다음에 주어진 A, B, C,에 대하여 A+2B-3C와 |-A-2B+3C|를 구하라
$$ \small (1)\ A=(-2,\ -2),\ B=(\sqrt{5},\ 1),\ C=(5,\ \sqrt{3}) $$
$$ \small (2)\ A=(5,\ 0,\ 1),\ B=(-3,\ 2,\ -1),\ C=(-3,\ 3,\ 1) $$
$$ \small (3)\ A=(3,\ -2,\ -1),\ B=(1,\ 3,\ 0),\ C=(1,\ -3,\ 2) $$
$$ \small (4)\ A=(1,\ -1,\ 2,\ -2),\ B=(0,\ 2,\ 0,\ -1),\ C=(-1,\ -2,\ 1,\ 2)$$
(1)
$$ \small \begin{align}A+2B-3C&=(-2,\ -2)+2(\sqrt{5},\ 1)-3(5,\ \sqrt{3})\\&=(-2,\ -2)+(2\sqrt{5},\ 2)+(-15,\ -3\sqrt{3})\\&=(2\sqrt{5}-17,\ -3\sqrt{3}) \end{align}$$
$$ \small \begin{align}|-A-2B+3C|&=|(-1)A+2B-3C|\\&=\sqrt{(2\sqrt{5}-17)^{2}+(-3\sqrt{3})^{2}}\\&=\sqrt{20-68\sqrt{5}+289+27}\\&=\sqrt{336-68\sqrt{5}} \end{align}$$
(2)
$$ \small \begin{align}A+2B-3C&=(5,\ 0,\ 1)+2(-3,\ 2,\ -1)-3(-3,\ 3,\ 1)\\&=(5,\ 0,\ 1)+(-6,\ 4,\ -2)+(9,\ -9,\ -3)\\&=(8,\ -5,\ -4) \end{align}$$
$$ \small \begin{align}|-A-2B+3C|&=|(-1)A+2B-3C|\\&=\sqrt{8^{2}+(-5)^{2}+(-4)^{2}}\\&=\sqrt{64+25+16}\\&=\sqrt{105}\end{align}$$
(3)
$$ \small \begin{align}A+2B-3C&=(3,\ -2,\ -1)+2(1,\ 3,\ 0)-3(1,\ -3,\ 2)\\&=(3,\ -2,\ -1)+(2,\ 6,\ 0)+(-3,\ 9,\ -6)\\&=(2,\ 13,\ -7) \end{align}$$
$$ \small \begin{align}|-A-2B+3C|&=|(-1)A+2B-3C|\\&=\sqrt{2^{2}+13^{2}+(-7)^{2}}\\&=\sqrt{4+169+49}\\&=\sqrt{222} \end{align}$$
(4)
$$ \small \begin{align}A+2B-3C&=(1,\ -1,\ 2,\ -2)+2(0,\ 2,\ 0,\ -1)-3(-1,\ -2,\ 1,\ 2)\\&=(1,\ -1,\ 2,\ -2)+(0,\ 4,\ 0,\ -2)+(3,\ 6,\ -3,\ -6)\\&=(4,\ 9,\ -1,\ -10) \end{align}$$
$$ \small \begin{align}|-A-2B+3C|&=|(-1)A+2B-3C|\\&=\sqrt{4^{2}+9^{2}+(-1)^{2}+(-10)^{2}}\\&=\sqrt{16+81+1+100}\\&=\sqrt{198} \end{align}$$
$$ \small 3.\ 벡터\ A=(3,\ 5),\ B=(-2,\ -3),\ C=(6,\ 7)에\ 대하여\\aA+bB=C가\ 되는\ 실수\ a,\ b를\ 구하라$$
$$ \small aA+bB=C $$
$$ \small (3, 5)a + (-2, -3)b = (6, 7) $$
각 x의 값과 y의 값을 묶어 방정식으로 나타내면,
$$ \small 3a-2b=6,\ 5a-3b=7$$
$$ \small \begin{align}3a-2b&=6\\5a-3b&=7\end{align}$$
b의 값을 제거하기 위해 첫번째 행에는 -3, 두번째 행에는 2를 곱한다.
$$ \small \begin{align}-9a+6b&=-18\\10a-6b&=14\\a&=4\end{align}$$
$$ \small 두\ 행을\ 더해\ a=-4\ 를 도출하였고,\ 3a-2b=6에\ 대입한다.$$
$$\small \begin{align}3a-2b&=6\\-12-2b&=6\\-2b&=18\\b&=-9\end{align}$$
4. 두 점 (0, 0, 0)과 (1, 2, 3)을 지나는 직선의 벡터방정식을 구하고,
이를 성분 표현으로도 구하라.
C-A=k(B-A)
$$ \small C-(0,\ 0,\ 0)=k((1,\ 2,\ 3)-(0,\ 0,\ 0)) $$
$$ \small C=k(1,\ 2,\ 3) $$
$$ \small 직선의\ 벡터방정식\ :\ k(1,\ 2,\ 3) $$
$$ \small x=k,\ y=2k,\ z=3k\ 이므로,\\ 성분표현으로\ 나타내면\ (x=\frac{y}{2}=\frac{z}{3}) $$
5. 두 점 (3, 2, 1)과 (3, -1, 4)를 지나는 직선의 벡터방정식을 구하라.
C-A=k(B-A)
$$ \small \begin{align}C-A&=k((3,\ -1,\ 4)-(3,\ 2,\ 1))\\&=k(0,\ -3,\ 3)\\C&=k(0,\ -3,\ 3)+A\\&=k(0,\ -3,\ 3)+(1,\ 2,\ 3)\end{align}$$
$$ \small 6.\ 점\ (-1,\ 0,\ 1)을\ 지나고\ 벡터\ A=(4,\ -1,\ \frac{1}{3})에\\평행한\ 직선의\ 벡터방정식을\ 구하라. $$
$$ \small \begin{align}C-D&=k(A)\\C&=k(A)+D\\&=k(4,\ -1,\ \frac{1}{3})+(-1,\ 0,\ 1) \end{align}$$
7. 점 (0, 0, 0)을 지나고 벡터 A=(-5, 2, -3)에
평행한 직선의 벡터방정식을 구하라.
$$ \small \begin{align}C-D&=k(A)\\C&=k(A)+D\\&=k(-5,\ 2,\ -3)+(0,\ 0,\ 0)\\&=k(-5,\ 2,\ -3) \end{align}$$
8. A=(-1, 2, 3), B=(-1, 3, 0), C=(2, -2, 2)일 때 다음을 계산하라.
(1) A·A (2) A·B
(3) (-A)·B (4) A·(-B)
(5) A·(2B-3C) (6) 2A·B-3A·C
(1)
$$ \small \begin{align}A\cdot A&=(-1,\ 2,\ 3)\cdot (-1,\ 2,\ 3)\\&=1+4+9\\&=14\end{align}$$
(2)
$$ \small \begin{align}A\cdot B&=(-1,\ 2,\ 3)\cdot (-1,\ 3,\ 0)\\&=1+6+0\\&=7\end{align}$$
(3)
$$ \small \begin{align}(-A)\cdot B&=-1(A\cdot B)\\&=(-1)\cdot 7\\&=-7\end{align}$$
(4)
$$ \small \begin{align}A\cdot (-B)&=A\cdot (-1)\cdot B\\&=-1(A\cdot B)\\&=-7\end{align}$$
(5)
$$ \small \begin{align}A\cdot (2B-3C)&=A\cdot (2(-1,\ 3,\ 0)-3(2,\ -2,\ 2))\\&=A\cdot ((-2,\ 6,\ 0)+(-6,\ 6,\ -6))\\&=A\cdot (-8,\ 12,\ -6)\\&=(-1,\ 2,\ 3)\cdot(-8,\ 12,\ -6)\\&=8+24+-18\\&=14\end{align}$$
(6)
$$ \small \begin{align}2A\cdot B-3A\cdot C&=2(A\cdot B)-3(A\cdot C)\\&=2(7)-3((-1,\ 2,\ 3)\cdot (2,\ -2,\ 2))\\&=14-3(-2,\ -4,\ 6)\\&=14+(6+12-18)\\&=14+0\\&=14\end{align}$$
9. A=(2, -1), B=(3, 1)일 때 다음을 구하라.
(1) A, B의 단위벡터를 각각 구하라.
(2) 벡터 A의 벡터 B로의 정사영벡터를 구하라
(3) 벡터 B의 벡터 A로의 정사영벡터를 구하라
$$ \small 단위벡터\ 공식=\frac{A}{|A|} $$
(1)
$$ \small \begin{align}A의\ 단위벡터&=\frac{(2,\ -1)}{\sqrt{2^{2}+(-1)^{2}}}\\&=\frac{(2,\ -1)}{\sqrt{4+1}}\\&=\frac{(2,\ -1)}{\sqrt{5}}\\&=(\frac{2}{\sqrt{5}},\ -\frac{1}{\sqrt{5}}) \end{align}$$
$$ \small \begin{align}B의\ 단위벡터&=\frac{(3,\ 1)}{\sqrt{3^{2}+1^{2}}}\\&=\frac{(3,\ 1)}{\sqrt{9+1}}\\&=\frac{(3,\ 1)}{\sqrt{10}}\\&=(\frac{3}{\sqrt{10}},\ \frac{1}{\sqrt{10}}) \end{align}$$
$$ \small 벡터\ A의\ 벡터\ B로의\ 정사영벡터=|A|cos\theta U$$
$$ \small cos\theta\ :\ 사이각,\ U\ :\ B의\ 단위벡터$$
(2)
$$ \small \begin{align}|A|cos\theta U&=\sqrt{5}\cdot \frac{A\cdot B}{|A|\cdot |B|}\cdot U\\&=\sqrt{5}\cdot \frac{2\cdot 3+(-1)\cdot 1}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{10}} \cdot U\\&=\sqrt{5} \cdot \frac{6-1}{5\sqrt{2}} \cdot U\\&=\sqrt{5} \cdot \frac{5}{5\sqrt{2}} \cdot U\\&=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}\cdot (\frac{3}{\sqrt{10}},\ \frac{1}{\sqrt{10}})\\&=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}\cdot (\frac{3}{\sqrt{5}\cdot \sqrt{2}},\ \frac{1}{\sqrt{5}\cdot \sqrt{2}})\\&=(\frac{3\sqrt{5}}{\sqrt{5}\cdot (\sqrt{2})^{2}}, \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}\cdot (\sqrt{2})^{2}})\\&=(\frac{3}{2},\ \frac{1}{2})\end{align}$$
(3)
$$ \small \begin{align}|B|cos\theta U&=\sqrt{10}\cdot \frac{1}{\sqrt{2}}\cdot U\\&=\sqrt{5}\cdot U\\&=\sqrt{5}\cdot (\frac{2}{\sqrt{5}},\ -\frac{1}{\sqrt{5}})\\&=(\frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{5}},\ -\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}\\&=(2,\ -1) \end{align}$$
10. 다음에 주어진 두 벡터의 사이각을 구하라.
만일 각을 직접 구하기 어려운 경우 사이각의 cos 값을 곱하라.
$$ \small (1)\ A=(0,\ 1),\ B=(-\frac{1}{2},\ \frac{\sqrt{3}}{2}) \qquad \qquad (2)\ A=(1,\ 2,\ 3),\ B=(2,\ 3,\ 1) $$
$$ \small 사이각\ :\ \frac{A\cdot B}{|A|\cdot |B|}$$
(1)
$$ \small \begin{align}cos\theta &=\frac{A\cdot B}{|A|\cdot |B|}\\&=\frac{(0,\ 1)\cdot (-\frac{1}{2},\ \frac{\sqrt{3}}{2})}{|A|\cdot |B|}\\&=\frac{0+ \frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{0^{2}+1^{2}}\cdot |B|}\\&=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{1\cdot \sqrt{(-\frac{1}{2})^{2}+(\frac{\sqrt{3}}{2})^{2}}}\\&=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{1\cdot \sqrt{\frac{1}{4}+\frac{3}{4}}}\\&=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{1\cdot 1}\\&=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{1}\\&=\frac{\sqrt{3}}{2}\\&=30^\circ \end{align}$$
(2)
$$ \small \begin{align}cos\theta &=\frac{A\cdot B}{|A|\cdot |B|}\\&=\frac{(1,\ 2,\ 3)\cdot (2,\ 3,\ 1}{|A|\cdot |B|}\\&=\frac{2+6+3}{|A|\cdot |B|}\\&=\frac{11}{\sqrt{1^{2}+2^{2}+3^{2}}\cdot \sqrt{2^{2}+3^{2}+1^{2}}}\\&=\frac{11}{\sqrt{14}\cdot \sqrt{14}}\\&=\frac{11}{14} \end{align}$$