01. 3차 정방행렬 A에 대한 물음에 답하라.
$$ \small A=\begin{pmatrix}2&-1&2\\1&2&1\\3&0&-1\end{pmatrix} $$
$$ \small (1)\ A의\ (i,\ j)\ 소행렬식\ M_{ij}를\ 구하라(1\le i,\ j \le3).$$
$$ \small (2)\ A의\ (i,\ j)\ 여인수\ A_{ij}를\ 구하라(1\le i,\ j\le3).$$
$$ \small (3)\ |A|를\ [정의\ 5.1]에\ 의해\ 구하라.$$
$$ \small (4)\ |A|를\ 2번째\ 행에\ 의한\ 여인수\ 전개로\ 구하라.$$
$$ \small (5)\ |A|를\ 3번쨰\ 열에\ 의한\ 여인수\ 전개로\ 구하라.$$
(1)
$$ \small M_{11}= \left| \begin{array} 22 &1 \\0&-1\end{array} \right| = 2 \cdot (-1)-1 \cdot 0=-2$$
$$ \small M_{12}= \left| \begin{array} 11 &1 \\3&-1\end{array} \right| =1 \cdot (-1)-1 \cdot 3=-4$$
$$ \small M_{13}= \left| \begin{array} 11 &2 \\3&0\end{array} \right| =1 \cdot 0-2 \cdot 3=-6$$
$$ \small M_{21}= \left| \begin{array} --1 &2 \\0&-1\end{array} \right| =(-1) \cdot (-1)-2 \cdot 0=1$$
$$ \small M_{22}= \left| \begin{array} 22 &2 \\3&-1\end{array} \right| =2 \cdot (-1)-2 \cdot 3=-8$$
$$ \small M_{23}= \left| \begin{array} 22 &-1 \\3&0\end{array} \right| =2 \cdot 0 -(-1) \cdot 3=3$$
$$ \small M_{31}= \left| \begin{array} --1 &2 \\2&1\end{array} \right| =(-1) \cdot 1 -2 \cdot 2=-5$$
$$ \small M_{32}= \left| \begin{array} 22 &2 \\1&1\end{array} \right| =2 \cdot 1 -2 \cdot 1=0$$
$$ \small M_{33}= \left| \begin{array} 22 &-1 \\1&2\end{array} \right| = 2 \cdot 2 -(-1) \cdot 1=5$$
(2)
위에서 구한 소행렬식에서 부호패턴을 적용해준다.
$$ \small 부호패턴 : \begin{pmatrix} + & - & - \\ - & + & - \\ + & - & + \end{pmatrix} $$
$$ \small A_{11}=+M_{11}=-2 $$
$$ \small A_{12}=-M_{12}=4 $$
$$ \small A_{13}=+M_{13}=-6 $$
$$ \small A_{21}=-M_{21}=-1 $$
$$ \small A_{22}=+M_{22}=-8 $$
$$ \small A_{23}=-M_{23}=-3 $$
$$ \small A_{31}=+M_{31}=-5 $$
$$ \small A_{32}=-M_{32}=0 $$
$$ \small A_{33}=+M_{33}=5 $$
(3)
[정의 5.1]은 1행에 대해 여인수 전개를 진행하고 있다.
$$ \small |A|= 2 \cdot -2 + (-1) \cdot 4 + 2 \cdot (-6) = -4-4-12=-20$$
(4)
두번째 행에 대한 여인수 전개는
$$ \small |A|=a_{21}A_{21}+a_{22}A_{22}+a_{23}A_{23} $$
$$ \small |A|=1 \cdot (-1) + 2 \cdot (-8) + 1 \cdot (-3) $$
$$ \small |A|=(-1)+(-16)+(-3) = -20$$
(5)
세번째 열에 대한 여인수 전개는
$$ \small |A|=a_{13}A_{13}+a_{23}A_{23}+a_{33}A_{33} $$
$$ \small |A|=2 \cdot (-6) + 1 \cdot (-3) + (-1) \cdot 5 $$
$$ \small |A|=(-12)+(-3)+(-5)=-20 $$
02. 각 행렬에 대한 행렬식을 구하라.
$$ \small (1)\ A=\begin{pmatrix}5&2&4&3&8\\12&-4&2&1&6\\0&0&0&0&0&\\12&21&-7&11&34\\9&11&3&78&-5\end{pmatrix} \qquad (2)\ B=\begin{pmatrix}23&-43&1\\2&5&0\\5&3&0\end{pmatrix} $$
$$ \small (3)\ C=\begin{pmatrix}1&5&-3\\2&7&1\\3&13&-5\end{pmatrix} \qquad (4)\ D=\begin{pmatrix}4&-8&19\\1&0&0\\3&-7&16\end{pmatrix} $$
$$ \small (5)\ E=\begin{pmatrix}3&-7&13&27\\0&2&-8&19\\0&0&1&6\\0&0&0&4\end{pmatrix} \qquad (6)\ F=\begin{pmatrix}3&6&-1\\2&1&0\\-5&4&1\end{pmatrix} $$
$$ \small (7)\ G=\begin{pmatrix}0&0&0&1\\0&0&2&3\\0&4&5&6\\7&8&9&10\end{pmatrix} \qquad (8)\ H=\begin{pmatrix}-1&5&2\\0&1&4\\1&3&2\end{pmatrix} $$
(1)
세번째 행에 영행이 존재하므로, 행렬식의 값은 0이다.
(2)
3열을 기준으로 여인수 전개를 한다.
$$ \small |B|=a_{13}A_{13}+a_{23}A_{23}+a_{33}A_{33} $$
$$ \small |B|=1 \cdot (-1)^{(1+3)} \left| \begin{array}22&5\\5&3\end{array} \right| + 0 \cdot (-1)^{(2+3)} \left| \begin{array}23&-43\\5&3\end{array} \right| + 0 \cdot (-1)*{(3+3)} \left| \begin{array}23&-43\\2&5\end{array} \right| $$
$$ \small |B|=(2 \cdot 3)-(5 \cdot 5)+0+0 = -19$$
(3)
(2)와 같은 방법으로 첫 열에 대해 여인수 전개 한다.
$$ \small |C|= 1 \cdot (-1)^{(1+1)} \left| \begin{array}77&1\\13&-5\end{array} \right| + 2 \cdot (-1)^{(2+1)} \left| \begin{array}55&-3\\13&-5\end{array} \right| + 3 \cdot (-1)^{(3+1)} \left| \begin{array}55&-3\\7&1\end{array} \right| $$
$$ \small |C|=(7 \cdot (-5) - 1 \cdot 13) -2(5 \cdot (-5) - (-3) \cdot 13) + 3(5 \cdot 1 - (-3) \cdot 7) $$
$$ \small |C|=(-35-13)-2(-25+39)+3(5+21) = -48-28+78=2$$
(4)
두번째 행에 대한 여인수 전개를 한다.
$$ \small |D|= 1 \cdot (-1)^{(2+1)} \left| \begin{array}-8&19\\-7&16\end{array} \right| + 0 \cdot (-1)^{(2+2)} \left| \begin{array}44&19\\3&16\end{array} \right| + 0 \cdot (-1)^{(2+3)} \left| \begin{array}44&-8\\3&-7\end{array} \right| $$
$$ \small |D|= -1 \cdot ((-8)\cdot 16 - 19 \cdot (-7)) +0+0 = -1 \cdot (-128+133)=-1 \cdot 5 = -5 $$
(5)
삼각행렬의 행렬식은 주대각원소의 곱이다.
$$ \small |E|=3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 4 = 24$$
(6)
세번째 열에 대한 여인수 전개를 한다.
$$ \small |F|=(-1) \cdot (-1)^{(1+3)} \left| \begin{array}22&1\\-5&4\end{array} \right| + 0 \cdot (-1)^{(2+3)} \left| \begin{array}33&6\\-5&4\end{array} \right| + 1 \cdot (-1)^{(3+3)} \left| \begin{array}33&6\\2&1\end{array} \right| $$
$$ \small |F|=(-1) \cdot (8+5) + 0 + 1 \cdot (3-12) = -13+0-9=-22 $$
(7)
1행과 4행을 교환, 2행과 3행을 교환한다.
주대각 원소의 곱으로 행렬식을 구한다.
$$ \small |G|=7 \cdot 4 \cdot 2 \cdot 1 = 56$$
(8)
첫번째 열에 대한 여인수 전개를 한다.
$$ \small |H|=(-1) \cdot (-1)^{(1+1)} \left| \begin{array}11&4\\3&2\end{array} \right| + 0 \cdot (-1)^{(2+1)} \left| \begin{array}55&2\\3&2\end{array} \right| + 1 \cdot (-1)^{(3+1)} \left| \begin{array}55&2\\1&4\end{array} \right| $$
$$ \small |H|=(-1) \cdot (2-12) + 0 + (20-2) = 10+18=28 $$
3. 각 행렬식을 구하라.
$$ \small (1)\ \begin{pmatrix}a&0&0\\0&b&0\\0&0&c\end{pmatrix} \qquad (2)\ \begin{pmatrix}x^{2}&y^{2}&z^{2}\\x&y&z\\1&1&1\end{pmatrix} $$
$$ \small (3)\ \begin{pmatrix}a&b&c\\c&a&b\\b&c&a\end{pmatrix} \qquad (4)\ \begin{pmatrix}0&c&b\\c&0&a\\b&a&0\end{pmatrix} $$
(1)
주대각 원소를 곱하여 행렬식을 구한다.
$$ \small a \cdot b \cdot c$$
(2)
세번째 행에 대한 여인수 전개를 한다.
$$ \small 1 \cdot (-1)^{(3+1)} \left| \begin{array}yy^{2}&z^{2}\\y&z\end{array} \right| + 1 \cdot (-1)^{(3+2)} \left| \begin{array}xx^{2}&z^{2}\\x&z\end{array} \right| + 1 \cdot (-1)^{(3+3)} \left| \begin{array}xx^{2}&y^{2}\\x&y\end{array} \right| $$
$$ \small (y^{2}z-z^{2}y)-(x^{2}z-z^{2}x)+(x^{2}y-y^{2}x) $$
$$ \small (x-y)(x-z)(y-z)$$
(3)
선형대수 교재의 [그림 5.1] 처럼 3차 정방행렬의 방정식으로 계산한다.
$$ \small (a^{3}+b^{3}+c^{3})-(abc+abc+abc) $$
$$ \small a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc $$
$$ \small (a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca) $$
(4)
위의 (3)과 동일하게 계산한다.
$$ \small (0+abc+abc)-(0+0+0)$$
$$ \small 2abc$$
4. 행렬식이 0이 되기 위한 실수 x를 구하라.
$$ \small (1)\ A=\begin{pmatrix}x-3&-2\\4&x+3\end{pmatrix} \qquad (2)\ B=\begin{pmatrix}x-1&0&0\\0&x-2&3\\0&5&x\end{pmatrix} $$
(1)
행렬식이 0이 되기 위해서는
$$ \small (x-3) \cdot (x+3)-(-2) \cdot 4 = 0$$
$$ \small x^{2}-9+8=0 $$
$$ \small x^{2}-1=0 $$
$$ \small (x-1)(x+1)=0 $$
이므로, 1 또는 -1 이다.
(2)
행렬식이 0이 되기 위해서는
$$ \small (x-1) \cdot (-1)^{(1+1)} \left| \begin{array}x-2&3\\5&x\end{array} \right| $$
$$ \small (x-1) \cdot (x(x-2)-15) $$
$$ \small (x-1) \cdot (x^{2}-2x-15)$$
$$ \small (x-1) \cdot (x-5)(x+3)$$
이므로, x의 값은 1, 5, -3 이다.
5. 행렬 A가 역행렬을 갖지 못하는 실수 x를 구하라.
$$ \small A=\begin{pmatrix}x+3&-x+3\\4&x-3\end{pmatrix} $$
$$ \small (x+3)(x-3) - 4(-x+3) $$
$$ \small x^{2}-9+4x-12 $$
$$ \small x^{2}+4x-21 $$
$$ \small (x-7)(x+3) $$
이므로, 역행렬을 갖지 않는 x의 값은
$$ \small x \ne 7, x \ne -3\ 이다.$$
6. 3차 정방행렬 A의 물음에 답하라.
$$ \small A=\begin{pmatrix}3&7&-1\\-4&8&-9\\2&0&3\end{pmatrix} $$
$$ \small (1)\ A가\ 정칙행렬임을\ |A|를\ 구하여\ 확인하라. $$
$$ \small (2)\ A를\ 기본행렬의\ 곱으로\ 표시하라. $$
$$ \small (3)\ (2)번의\ 결과와\ [정리\ 5.7]을\ 이용하여\ |A|를\ 구하라. $$
(1)
세번째 행에 대해 여인수 전개를 한다.
$$ \small |A|= 2 \cdot (-1)^{(3+1)} \left| \begin{array}77&-1\\8&-9\end{array} \right| + 0 \cdot (-1)^{(3+2)} \left| \begin{array}33&-1\\-4&-9\end{array} \right| + 3 \cdot (-1)^{(3+3)} \left| \begin{array}33&7\\-4&8\end{array} \right| $$
$$ \small |A|=2 \cdot (7 \cdot (-9)-(-1)\cdot 8)+0+3 \cdot (3 \cdot 8 - 7 \cdot (-4)) $$
$$ \small |A|=2 \cdot (-63+8)+0+3 \cdot (24+28)$$
$$ \small |A|=2 \cdot (-55)+0+3 \cdot(52) = -110 + 156 = 46$$
행렬식의 값이 0이 아니므로 정칙행렬이다.
(2)
기본행 연산을 통해 A 행렬을 단위행렬로 변경한다.
$$ \small \underrightarrow{R_{3,1}(-1)} \begin{pmatrix}1&7&-4\\-4&8&-9\\2&0&3\end{pmatrix} \qquad E_{1} = \begin{pmatrix}1&0&-1\\0&1&0\\0&0&1 \end{pmatrix}$$
$$ \small \underrightarrow{R_{1,2}(4)} \begin{pmatrix}1&7&-4\\0&36&-25\\2&0&3\end{pmatrix} \qquad E_{2}=\begin{pmatrix}1&0&0\\4&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}$$
$$ \small \underrightarrow{R_{1,3}(-2)} \begin{pmatrix}1&7&-4\\0&36&-25\\0&-14&11\end{pmatrix} \qquad E_{3}=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\-2&0&1\end{pmatrix}$$
$$ \small \underrightarrow{R_{3,2}(2)} \begin{pmatrix}1&7&-4\\0&8&-3\\0&-14&11\end{pmatrix} \qquad E_{4}=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&2\\0&0&1\end{pmatrix}$$
$$ \small \underrightarrow{R_{2,3}(2)} \begin{pmatrix}1&7&-4\\0&8&-3\\0&2&5\end{pmatrix} \qquad E_{5}=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&2&1\end{pmatrix}$$
$$ \small \underrightarrow{R_{2,3}} \begin{pmatrix}1&7&-4\\0&2&5\\0&8&-3\end{pmatrix} \qquad E_{6}=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}$$
$$ \small \underrightarrow{R_{2,3}(-4)}\begin{pmatrix}1&7&-4\\0&2&5\\0&0&-23\end{pmatrix} \qquad E_{7}=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&-4&1\end{pmatrix}$$
$$ \small \underrightarrow{R_{3}(-\frac{1}{23})} \begin{pmatrix}1&7&-4\\0&2&5\\0&0&1\end{pmatrix} \qquad E_{8}=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-\frac{1}{23}\end{pmatrix}$$
$$ \small \underrightarrow{R_{2,3}(-5)} \begin{pmatrix}1&7&-4\\0&2&0\\0&0&1\end{pmatrix} \qquad E_{9}=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&-5\\0&0&1\end{pmatrix}$$
$$ \small \underrightarrow{R_{3,1}(4)} \begin{pmatrix}1&7&0\\0&2&0\\0&0&1\end{pmatrix} \qquad E_{10}=\begin{pmatrix}1&0&4\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}$$
$$ \small \underrightarrow{R_{2}(\frac{1}{2})}\begin{pmatrix}1&7&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix} \qquad E_{11}=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&\frac{1}{2}&0\\0&0&1\end{pmatrix}$$
$$ \small \underrightarrow{R_{2,1}(-7)} \begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix} \qquad E_{12}=\begin{pmatrix}1&-7&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}$$
$$ \small A \cdot E_{1} \cdot E_{2} \cdots E_{12} = I$$
$$ \small A=E_{1}^{-1} \cdot E_{2}^{-1} \cdots E_{12}^{-1} \cdot I $$
(3)
$$ \small |A|=|E_{1}^{-1}| \cdot |E_{2}^{-1}| \cdots |E_{12}^{-1}| \cdot |I| $$
$$ \small |A|=\frac{1}{|E_{1}|} \cdot \frac{1}{|E_{2}|} \cdot \frac{1}{|E_{3}|} \cdot \frac{1}{|E_{4}|} \cdot \frac{1}{|E_{5}|} \cdot \frac{1}{|E_{6}|} \cdot \frac{1}{|E_{7}|} \cdot \frac{1}{|E_{8}|} \cdot \frac{1}{|E_{9}|} \cdot \frac{1}{|E_{10}|} \cdot \frac{1}{|E_{11}|} \cdot \frac{1}{|E_{12}|} \cdot I $$
$$ \small |A|=\frac{1}{1} \cdot \frac{1}{1} \cdot \frac{1}{1} \cdot \frac{1}{1} \cdot \frac{1}{1} \cdot -\frac{1}{1} \cdot \frac{1}{1} \cdot \frac{1}{-\frac{1}{23}} \cdot \frac{1}{1} \cdot \frac{1}{1} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2}} \cdot \frac{1}{1} \cdot I $$
$$ \small |A|=-1 \cdot -\frac{\frac{1}{1}}{\frac{1}{23}} \cdot \frac{\frac{1}{1}}{\frac{1}{2}} = -1 \cdot -23 \cdot 2 = 46$$
7. 3차 정방행렬 A에 대해 다음을 구하라.
$$ \small A=\begin{pmatrix}1&4&3\\1&6&8\\1&2&-1\end{pmatrix} $$
$$ \small (1)\ A^{-1}을\ [알고리즘\ 4.1]에\ 따라\ 구하라. $$
$$ \small (2)\ 기본행연산과\ 행렬식의\ 관계를\ 이용해\ A의\ 행렬식을\ 구하라. $$
$$ \small (3)\ |A^{-1}|을\ 구하라 $$
$$ \small (4)\ c=-3일\ 때\ |cA|를\ 구하라.$$
$$ \small (5)\ |A^{T}|를\ 구하라. $$
(1)
$$ \small (A|I) = \left( \begin{array}{ccc|ccc}1&4&3&1&0&0\\1&6&8&0&1&0\\1&2&-1&0&0&1\end{array} \right) $$
$$ \small \underrightarrow{R_{1,2}(-1)} \left( \begin{array}{ccc|ccc}1&4&3&1&0&0\\0&2&5&-1&1&0\\1&2&-1&0&0&1\end{array} \right) $$
$$ \small \underrightarrow{R_{1,3}(-1)} \left( \begin{array}{ccc|ccc}1&4&3&1&0&0\\0&2&5&-1&1&0\\0&-2&-4&-1&0&1\end{array} \right) $$
$$ \small \underrightarrow{R_{2,3}(1)} \left( \begin{array}{ccc|ccc}1&4&3&1&0&0\\0&2&5&-1&1&0\\0&0&1&-2&1&1\end{array} \right) $$
$$ \small \underrightarrow{R_{2,1}(-2)} \left( \begin{array}{ccc|ccc}1&0&-7&3&-2&0\\0&2&5&-1&1&0\\0&0&1&-2&1&1\end{array} \right) $$
$$ \small \underrightarrow{R_{3,1}(7)} \left( \begin{array}{ccc|ccc}1&0&0&-11&5&7\\0&2&5&-1&1&0\\0&0&1&-2&1&1\end{array} \right) $$
$$ \small \underrightarrow{R_{3,2}(-5)} \left( \begin{array}{ccc|ccc}1&0&0&-11&5&7\\0&2&0&9&-4&-5\\0&0&1&-2&1&1\end{array} \right) $$
$$ \small \underrightarrow{R_{2}(\frac{1}{2})} \left( \begin{array}{ccc|ccc}1&0&0&-11&5&7\\0&1&0&\frac{9}{2}&-2&-\frac{5}{2}\\0&0&1&-2&1&1\end{array} \right) $$
(2)
$$ \small |A|=E_{1}^{-1} \cdot E_{2}^{-1} \cdot E_{3}^{-1} \cdot E_{4}^{-1} \cdot E_{5}^{-1} \cdot E_{6}^{-1} \cdot E_{}^{-1} \cdot I $$
$$ \small |A|=\frac{1}{E_{1}} \cdot \frac{1}{E_{2}} \cdot \frac{1}{E_{3}} \cdot \frac{1}{E_{4}} \cdot \frac{1}{E_{5}} \cdot \frac{1}{E_{6}} \cdot \frac{1}{E_{7}} \cdot I $$
$$ \small |A|=\frac{1}{1} \cdot \frac{1}{1} \cdot \frac{1}{1} \cdot \frac{1}{1} \cdot \frac{1}{1} \cdot \frac{1}{1} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2}} \cdot I $$
$$ \small |A|=\frac{\frac{1}{1}}{\frac{1}{2}} = 2$$
(3)
$$ \small |A^{-1}| = \frac{1}{|A|} = \frac{1}{2}$$
(4)
$$ \small |cA| = c^{3}|A| = -27 \cdot |A| = -54$$
(5)
$$ \small |A^{T}| = |A| = 2$$
8. 3차 정방행렬 A에 대해 |A|=2일 때 계산하라.
$$ \small (1)\ |-3A| $$
$$ \small (2)\ |3A^{-1}| $$
$$ \small (3)\ |(4A)^{-1}| $$
$$ \small (4)\ |6A^{T}| $$
$$ \small (5)\ B=E_{1,2}(\frac{1}{16}) \cdot E_{2,3}(-1) \cdot E_{2}(4) \cdot E_{3,2}(-4) \cdot E_{1}(3)과\ 같이$$
$$ \small B가\ 기본행렬의\ 곱으로\ 표시되었을\ 때,\ |AB|를\ 구하라. $$
$$ \small (6)\ B=\frac{1}{3}A이고\ C=2B^{-1}일\ 때\ |C|를\ 구하라. $$
(1)
$$ \small |-3A| = (-3)^{3}|A| = -27 \cdot 2 = -54 $$
(2)
$$ \small |3A^{-1}| = 3^{3} \cdot \frac{1}{|A|} = 27 \cdot \frac{1}{2} = \frac{27}{2} $$
(3)
$$ \small |(4A)^{-1}| = \frac{1}{|4A|} = \frac{1}{4^{3}|A|} = \frac{1}{64 \cdot 2} = \frac{1}{128} $$
(4)
$$ \small |6A^{T}| = 6^{3}|A| = 216 \cdot 2 = 432 $$
(5)
$$ \small B = E_{1} \cdot E_{2} \cdot E_{3} \cdot E_{4} \cdot E_{5} \cdot I $$
$$ \small |B|=|E_{1}| \cdot |E_{2}| \cdot |E_{3}| \cdot |E_{4}| \cdot |E_{5}| $$
$$ \small |B|= 1 \cdot 1 \cdot 4 \cdot 1 \cdot 3 = 12 $$
$$ \small |AB| = |A| \cdot |B| = 2 \cdot 12 = 24 $$
(6)
$$ \small |C| = |2B^{-1}| = 2^{3}|B^{-1}| = 8 \cdot \frac{1}{|B|} = 8 \cdot \frac{1}{|B|} = 8 \cdot \frac{1}{|\frac{1}{3}A|} = 8 \cdot \frac{1}{(\frac{1}{3})^{3} \cdot |A|} = 8 \cdot \frac{1}{ \frac{2}{27}} $$
$$ \small |C|= 8 \cdot \frac{\frac{1}{1}}{\frac{2}{27}} = 8 \cdot \frac{27}{2} = 4 \cdot 27 = 108 $$
$$ \small |C| = 108 $$
9. 행렬이 정칙행렬이 되기 위한 조건을 구하라
$$ \small A=\begin{pmatrix}3&2&1\\2&x+3&6\\-x-3&0&2\end{pmatrix} $$
정칙행렬이 되기 위한 조건은 행렬식이 0이 아니면 된다.
그러므로 세번째 행에 대해 여인수 전개를 하여 구한다.
$$ \small |A|= (-x-3) \cdot (-1)^{(3+1)} \left| \begin{array}22&1\\x+3&6\end{array} \right| + 0 \cdot (-1)^{(3+2)} \left| \begin{array}33&2\\1&6\end{array} \right| + 2 \cdot (-1)^{(3+3)} \left| \begin{array}33&2\\2&x+3\end{array} \right| $$
$$ \small |A|=(-x-3) \cdot (12-x-3) + 0 + 2 \cdot (3x+9-4) $$
$$ \small |A|=(-x-3) \cdot (-x+9) + 2 \cdot (3x+5) $$
$$ \small |A| = x^{2}-6x-27 + 6x+10 $$
$$ \small |A|= x^{2}-17 $$
$$ \small x^{2} \ne 17$$
이므로, 정칙행렬이 되기 위한 x의 값은
$$ \small x \ne \sqrt{17}, x \ne -\sqrt{17} $$
10. 4차 정방행렬 A와 B에 대해 |A|=-3, |B|=-1일 때 계산하라.
$$ \small (1)\ |AB| \qquad (2)\ |B^{3}| $$
$$ \small (3)\ |3A| \qquad (4)\ |2B| $$
$$ \small (5)\ |A^{T}BA| \qquad (6)\ |BAB^{-1}| $$
(1)
$$ \small |AB|=|A| x |B| = (-3) \cdot (-1) = 3 $$
(2)
$$ \small |B^{3}| = |B|^{3} = (-1)^{3} = -1 $$
(3)
$$ \small |3A| = 3^{4}|A| = 81 \cdot (-3) = -243 $$
(4)
$$ \small |2B| = 2^{4}|B| = 16 \cdot (-1) = -16 $$
(5)
$$ \small |A^{T}BA| = |A^{T}| \times |B| \times |A| = |A| \times |B| \times |A| = (-3) \cdot (-1) \cdot (-3) = -9$$
(6)
$$ \small |BAB^{-1}| = |B| \times |A| \times |B^{-1}| = |B| \times |A| \times \frac{1}{|B|} = (-1) \cdot (-3) \cdot \frac{1}{-1} = -3 $$