1. 다음 행렬에 옳은 설명을 고르고, 틀린 것은 틀린 이유를 설명해라.
$$A=\begin{pmatrix}0&-1&5\\0&3&5\end{pmatrix}\quad B=\begin{pmatrix}4&1\\-3&4\end{pmatrix}\quad C=\begin{pmatrix}6&0&0\\5&4&0\\3&2&1\end{pmatrix}$$
$$D=\begin{pmatrix}0&1&2\\0&3&4\\0&0&0\end{pmatrix}\quad E=\begin{pmatrix}-5&0\\0&-5\end{pmatrix}\quad F=\begin{pmatrix}0&4\\4&-4\end{pmatrix}$$
$$G=\begin{pmatrix}-3&-2\\4&3\end{pmatrix}\quad H=\begin{pmatrix}-1&1\\0&2\end{pmatrix}\quad I=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$$
$$ \small (1).\ A는\ 2\times3\ 행렬이다.$$
$$ \small (2).\ B는\ 2차\ 정방행렬이며\ 대칭행렬이다.$$
$$ \small (3).\ C는\ 하삼각행렬이고\ 주대각원소는\ 6,\ 4,\ 1이다.$$
$$ \small (4).\ D는\ 주대각원소\ 중에\ 0이\ 있으므로\ 삼각행렬이\ 아니다.$$
$$ \small (5).\ E는\ 스칼라행렬로서\ -5I가\ 된다.$$
$$ \small (6).\ F는\ B와\ 곱셈에\ 관해\ 교환이\ 가능하다.\ 즉,\ FB=BF이다.$$
$$ \small (7).\ G는\ G^{101}=I를\ 만족한다.$$
$$ \small (8).\ H는\ H^{n}=\begin{pmatrix}(-1)^{n}&1\\0&2^{n}\end{pmatrix}을\ 만족한다.$$
옳은 것 : (1), (3), (5), (8)
틀린 것 : (2), (4), (6), (7)
(2) 2차 정방행렬은 맞지만 대칭행렬은 아니다.
▶️ 2x2행렬이지만, 주대각원소를 기준으로 두 원소의 값이 달라 대칭행렬은 아니다.
(4) 주대각원소가 0이 아니라는 조건이 없기에 삼각행렬이다.
(6) 곱셈에 교환이 가능하려면 FB=BF이어야 한다.
$$ \small FB=\begin{pmatrix}0&4\\4&-4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}4&1\\-3&4\end{pmatrix}$$
$$ \small FB=\begin{pmatrix}0\cdot4+4\cdot(-3)&0\cdot1+4\cdot4\\4\cdot4+(-4)\cdot(-3)&4\cdot1+(-4)\cdot4\end{pmatrix}$$
$$ \small FB=\begin{pmatrix}-12&16\\28&-12\end{pmatrix}$$
$$ \small BF=\begin{pmatrix}4&1\\-3&4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&4\\4&-4\end{pmatrix}$$
$$ \small BF=\begin{pmatrix}4\cdot0+1\cdot4&4\cdot4+1\cdot(-4)\\(-3)\cdot0+4\cdot4&(-3)\cdot4+4\cdot(-4)\end{pmatrix}$$
$$ \small BF=\begin{pmatrix}4&12\\16&-28\end{pmatrix}$$
$$ \small 이므로,\ FB \ne BF\ 이다.$$
(7) G의 제곱을 구해보자.
$$ \small G^{2}=\begin{pmatrix}-3&-2\\4&3\end{pmatrix} \begin{pmatrix}-3&-2\\4&3\end{pmatrix}$$
$$ \small G^{2}=\begin{pmatrix}(-3)\cdot(-3)+(-2)\cdot4&(-3)\cdot(-2)+(-2)\cdot3\\4\cdot(-3)+3\cdot4&4\cdot(-2)+3\cdot3\end{pmatrix}$$
$$ \small G^{2}=\begin{pmatrix}9-8&6-6\\(-12)+12&(-8)+9\end{pmatrix}$$
$$ \small G^{2}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$$
이므로, G의 세제곱의 경우
$$ \small G^{3}=G^{2}\cdot G\ 이다.$$
$$ \small G^{3}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-3&-2\\4&3\end{pmatrix}$$
$$ \small G^{3}=\begin{pmatrix}1\cdot(-3)+0\cdot4&1\cdot(-2)+0\cdot3\\0\cdot(-3)+1\cdot4&0\cdot(-2)+1\cdot3\end{pmatrix}$$
$$ \small G^{3}=\begin{pmatrix}-3&-2\\4&3\end{pmatrix}$$
$$ \small G^{3}=G\ 이다.$$
$$ \small 즉,\ G^{101}=G^{100}\cdot G\ 로\ 분리하면\ G의\ 값이 된다.$$
2. 아래의 행렬에 대한 물음에 답하라.
$$A=\begin{pmatrix}2&1&0\\3&-4&-2\end{pmatrix}, B=\begin{pmatrix}1&-5&2\\6&0&-3\end{pmatrix}$$
$$ \small (1).\ 2A,\ -3B를\ 각각\ 구하라.$$
$$ \small (2).\ 위의\ 결과를\ 이용해\ 2A-3B를\ 구하라.$$
1. 2A, -3B를 구하라.
$$ \small 2A=\begin{pmatrix}2\cdot2&2\cdot1&2\cdot0\\2\cdot3&2\cdot(-4)&2\cdot(-2)\end{pmatrix}$$
$$ \small 2A=\begin{pmatrix}4&2&0\\6&-8&-4\end{pmatrix}$$
$$ \small -3B=\begin{pmatrix}(-3)\cdot1&(-3)\cdot(-5)&(-3)\cdot2\\(-3)\cdot6&(-3)\cdot0&(-3)\cdot(-3)\end{pmatrix}$$
$$ \small -3B=\begin{pmatrix}-3&15&-6\\-18&0&9\end{pmatrix}$$
2. 2A-3B를 구하라.
$$ \small 2A-3B=\begin{pmatrix}4&2&0\\6&-8&-4\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-3&15&-6\\-18&0&9\end{pmatrix}$$
$$ \small 2A-3B=\begin{pmatrix}4-(-3)&2-15&0-(-6)\\6-(-18)&(-8)-0&(-4)-9\end{pmatrix}$$
$$ \small 2A-3B=\begin{pmatrix}7&-13&6\\24&-8&-13\end{pmatrix}$$
$$ \small 3.\ 행렬\ A의\ (i, j)\ 원소\ a_{ij}가\ 다음과\ 같이\ 주어졌을\ 때\ 행렬\ A를\ 각각\ 나타내라.$$
$$ \small단,\ n은\ 임의의\ 자연수로\ 한다.$$
$$ \small (1)\ a_{ij}=i+j\ (1\ \le\ i,\ j\ \le\ n) $$
$$ \small (2)\ a_{ij}=i^{2}-2ij+j^{2}\ (1\ \le\ i\ \le\ 2,\ 1\ \le\ j\ \le\ 3)$$
$$ \small (3)\ a_{ij}=(-1)^{i+j}\ (1\ \le\ i,\ j\ \le\ n)$$
$$ \small (4)\ a_{ij}=\frac{1}{i+j-1}\ (1\ \le\ i,\ j\ \le\ n)$$
(1)
$$ \small A=\begin{pmatrix}1+j&\cdots&1+n\\2+j&\cdots&1+n\\ \vdots & \vdots &\vdots \\ i+j & \cdots & i+n \end{pmatrix}$$
(2)
i는 1, 2의 값을 가지고 j는 1, 2, 3의 값을 가진다.
이에 따른 행렬 A의 크기는 2x3이므로
$$ \small A=\begin{pmatrix}1\cdot1-2\cdot1\cdot1+1\cdot1&1\cdot1-2\cdot1\cdot2+2\cdot2&1\cdot1-2\cdot1\cdot3+3\cdot3\\2\cdot2-2\cdot2\cdot1+1\cdot1&2\cdot2-2\cdot2\cdot2+2\cdot2&2\cdot2-2\cdot2\cdot3+3\cdot3\end{pmatrix}$$
$$ \small A=\begin{pmatrix}0&1&4\\1&0&1\end{pmatrix}$$
(3)
$$ \small \begin{pmatrix}(-1)^{1+j}&\cdots&(-1)^{1+n}\\(-1)^{2+j}&\cdots&(-1)^{2+n}\\ \vdots&\vdots&\vdots\\(-1)^{i+j}&\cdots&(-1)^{i+n}\end{pmatrix}$$
(4)
$$ \small \begin{pmatrix}\frac{1}{1+j-1}&\cdots&\frac{1}{1+n+1}\\ \frac{1}{2+j-1}&\cdots&\frac{1}{2+j-1}\\ \vdots&\vdots&\vdots\\ \frac{1}{i+j-1}&\cdots&\frac{1}{i+n-1}\end{pmatrix}$$
$$ \small 4.\ 행렬\ A가\ 다음과\ 같을\ 때\ A^{n}을\ 구하라.$$
$$ \small (1).\ A=\begin{pmatrix}1&0\\a&1\end{pmatrix}\qquad (2).\ A=\begin{pmatrix}a&0\\1&a\end{pmatrix}$$
(1)
$$ \small A^{2}을\ 구해보자.$$
$$ \small A^{2}=\begin{pmatrix}1&0\\a&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0\\a&1\end{pmatrix}$$
$$ \small A^{2}=\begin{pmatrix}1\cdot1+0\cdot a&1\cdot0+0\cdot1\\a\cdot1+1\cdot a&a\cdot0+1\cdot1\end{pmatrix}$$
$$ \small A^{2}=\begin{pmatrix}1&0\\2a&1\end{pmatrix}$$
위의 A의 제곱을 확인해보니
$$ \small a_{12}의\ a값이\ 2a가\ 되었음을\ 알게되었다.$$
$$ \small 이에따라\ A^{n}의\ 경우$$
$$ \small A^{n}=\begin{pmatrix}1&0\\n\cdot a&1\end{pmatrix}$$
(2)
$$ \small A^{2}을\ 구해보자.$$
$$ \small A^{2}=\begin{pmatrix}a&0\\1&a\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a&0\\1&a\end{pmatrix}$$
$$ \small A^{2}=\begin{pmatrix}a\cdot a+0\cdot1&a\cdot0+0\cdot a\\1\cdot a+a\cdot1&a\cdot0+a\cdot a\end{pmatrix}$$
$$ \small A^{2}=\begin{pmatrix}a^{2}&0\\2a&a^{2}\end{pmatrix}$$
위의 A의 제곱을 확인하니
$$ \small a_{11}은\ a^{2},\ a{21}은\ 2a,\ a_{22}는\ a^{2}이\ 되는\ 것을\ 확인할\ 수\ 있다.$$
$$ \small 이에따라\ A^{n}의\ 경우$$
$$ \small A^{n}=\begin{pmatrix}a^{n}&0\\n\cdot a&a^{n}\end{pmatrix}$$
$$ \small 5.\ 행렬\ A가\ 다음과\ 같을\ 때,\ A^{n}+A^{n-1}+\cdots+A+I를\ 구하라.$$
$$ \small A=\begin{pmatrix}1&0\\2&1\end{pmatrix}$$
문제의 식을 뒤집게 되면
$$ \small I+A+\cdot+A^{n-1}+A^{n}을\ 구하는 식이 된다.$$
$$ \small 그러므로\ A^{2}과\ A^{3}을\ 구해\ A^{n}을\ 구하는\ 방법을\ 확인하여 마지막에 A+I를 한다.$$
$$ \small A^{2}=\begin{pmatrix}1&0\\2&1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1&0\\2&1\end{pmatrix}$$
$$ \small A^{2}=\begin{pmatrix}1\cdot1+0\cdot2&1\cdot0+0\cdot1\\2\cdot1+1\cdot2&2\cdot0+1\cdot1\end{pmatrix}$$
$$ \small A^{2}=\begin{pmatrix}1&0\\4&1\end{pmatrix}$$
$$ \small A^{3}=A^{2}\cdot A $$
$$ \small A^{3}=\begin{pmatrix}1&0\\4&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0\\2&1\end{pmatrix}$$
$$ \small A^{3}=\begin{pmatrix}1\cdot1+0\cdot2&1\cdot0+0\cdot1\\4\cdot1+1\cdot2&4\cdot0+1\cdot1\end{pmatrix}$$
$$ \small A^{3}=\begin{pmatrix}1&0\\6&1\end{pmatrix}$$
$$ \small 이에따라,\ I+A부터\ A^{n}까지\ 구하게\ 되면$$
$$ \small A^{n}+A^{n-1}+\cdots+A+I = \begin{pmatrix}n+1&0\\(\sum\limits_{n=1}^{n} 2n)+1&n+1\end{pmatrix}$$
$$ \small 6.\ 행렬\ A,\ B,\ C가\ 다음과\ 같고\ 상수\ c=-2로\ 둘\ 때$$
$$ \small [정리\ 3.3]의\ (1),\ (2),\ (3),\ (4)를 확인하라.$$
$$ \small A=\begin{pmatrix}2&-1\\1&0\end{pmatrix},\ B=\begin{pmatrix}2&3\\4&5\end{pmatrix},\ C=\begin{pmatrix}1&1\\-1&2\end{pmatrix}$$
[정리 3.3]
행렬 A, B, C와 임의의 수 c에 대해 행렬의 곱이 정의되는 경우 다음이 성립한다.
$$ \small (1)\ A(B+C)=AB+AC \qquad (2)\ (A+B)C=AC+BC$$
$$ \small (3)\ A(BC)=(AB)C \qquad\qquad (4)\ A(cB)=c(AB)=(cA)B$$
(1)
A(B+C)=AB+AC
$$ \small \begin{pmatrix}2&-1\\1&0\end{pmatrix}\cdot\biggl(\begin{pmatrix}2&3\\4&5\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1&1\\-1&2\end{pmatrix}\biggr)=\begin{pmatrix}2&-1\\1&0\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}2&3\\4&5\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}2&-1\\1&0\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1&1\\-1&2\end{pmatrix}$$
$$ \small \begin{pmatrix}2&-1\\1&0\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}3&4\\3&7\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\cdot2+(-1)\cdot4&2\cdot3+(-1)\cdot5\\1\cdot2+0\cdot4&1\cdot3+0\cdot5\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}2\cdot1+(-1)\cdot(-1)&2\cdot1+(-1)\cdot2\\1\cdot1+0\cdot(-1)&1\cdot1+0\cdot2\end{pmatrix}$$
$$ \small \begin{pmatrix}2\cdot3+(-1)\cdot3&2\cdot4+(-1)\cdot7\\1\cdot3+0\cdot3&1\cdot4+0\cdot7\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&1\\2&3\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}3&0\\1&1\end{pmatrix}$$
$$ \small \begin{pmatrix}3&1\\3&4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&1\\3&4\end{pmatrix}$$
(2)
(A+B)C=AC+BC
$$ \small \biggl(\begin{pmatrix}2&-1\\1&0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}2&3\\4&5\end{pmatrix}\biggr)\cdot\begin{pmatrix}1&1\\-1&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&-1\\1&0\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1&1\\-1&2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}2&3\\4&5\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1&1\\-1&2\end{pmatrix}$$
$$ \small \begin{pmatrix}4&2\\5&5\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1&1\\-1&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\cdot1+(-1)\cdot(-1)&2\cdot1+(-1)\cdot2\\1\cdot1+0\cdot(-1)&1\cdot1+0\cdot2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}2\cdot1+3\cdot(-1)&2\cdot1+3\cdot2\\4\cdot1+5\cdot(-1)&4\cdot1+5\cdot2\end{pmatrix}$$
$$ \small \begin{pmatrix}4\cdot1+2\cdot(-1)&4\cdot1+2\cdot2\\5\cdot1+5\cdot(-1)&5\cdot1+5\cdot2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&0\\1&1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-1&8\\-1&14\end{pmatrix}$$
$$ \small \begin{pmatrix}2&8\\0&15\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&8\\0&15\end{pmatrix}$$
(3)
A(BC)=(AB)C
$$ \small \begin{pmatrix}2&-1\\1&0\end{pmatrix}\biggl(\begin{pmatrix}2&3\\4&5\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1&1\\-1&2\end{pmatrix}\biggr)=\biggl(\begin{pmatrix}2&-1\\1&0\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}2&3\\4&5\end{pmatrix}\biggr)\begin{pmatrix}1&1\\-1&2\end{pmatrix}$$
$$ \small \begin{pmatrix}2&-1\\1&0\end{pmatrix}\biggl(\begin{pmatrix}2\cdot1+3\cdot(-1)&2\cdot1+3\cdot2\\4\cdot1+5\cdot(-1)&4\cdot1+5\cdot2\end{pmatrix}\biggr)=\biggl(\begin{pmatrix}2\cdot2+(-1)\cdot4&2\cdot3+(-1)\cdot5\\1\cdot2+0\cdot4&1\cdot3+0\cdot5\end{pmatrix}\biggr)\begin{pmatrix}1&1\\-1&2\end{pmatrix}$$
$$ \small \begin{pmatrix}2&-1\\1&0\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}-1&8\\-1&14\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&1\\2&3\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1&1\\-1&2\end{pmatrix}$$
$$ \small \begin{pmatrix}2\cdot(-1)+(-1)\cdot(-1)&2\cdot8+(-1)\cdot14\\1\cdot(-1)+0\cdot(-1)&1\cdot8+0\cdot14\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\cdot1+1\cdot(-1)&0\cdot1+1\cdot2\\2\cdot1+3\cdot(-1)&2\cdot1+3\cdot2\end{pmatrix}$$
$$ \small \begin{pmatrix}-1&2\\-1&8\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1&2\\-1&8\end{pmatrix}$$
(4)
A(cB)=c(AB)=(cA)B
$$ \small \begin{pmatrix}2&-1\\1&0\end{pmatrix}\biggl(c\begin{pmatrix}2&3\\4&5\end{pmatrix}\biggr)=c\biggl(\begin{pmatrix}2&-1\\1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&3\\4&5\end{pmatrix}\biggr)=\biggl(c\begin{pmatrix}2&-1\\1&0\end{pmatrix}\biggr)\begin{pmatrix}2&3\\4&5\end{pmatrix}$$
$$ \small \begin{pmatrix}2&-1\\1&0\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}2c&3c\\4c&5c\end{pmatrix}=c\begin{pmatrix}2\cdot2+(-1)\cdot4&2\cdot3+(-1)\cdot5\\1\cdot2+0\cdot4&1\cdot3+0\cdot5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2c&-c\\c&0\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}2&3\\4&5\end{pmatrix}$$
$$ \small \begin{pmatrix}2\cdot2c+(-1)\cdot4c&2\cdot3c+(-1)\cdot5c\\1\cdot2c+0\cdot4c&1\cdot3c+0\cdot5c\end{pmatrix}=c\begin{pmatrix}0&1\\2&3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2c\cdot2+(-c)\cdot4&2c\cdot3+(-c)\cdot5\\c\cdot2+0\cdot4&c\cdot3+0\cdot5\end{pmatrix}$$
$$ \small \begin{pmatrix}0&c\\2c&3c\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&c\\2c&3c\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&c\\2c&3c\end{pmatrix}$$
$$ \small 7.\ 다음\ 행렬\ A와\ B의\ 각\ 쌍에\ 대해\ 먼저\ AB를\ 구하고,$$
$$ \small 그\ 다음\ BA를\ 구할\ 수\ 있는지\ 확인한\ 후\ 구할\ 수\ 있으면\ AB와\ 같은지\ 비교하라. $$
$$ \small (1)\ A=\begin{pmatrix}0&1&2\end{pmatrix},\ B=\begin{pmatrix}4&2\\1&3\\-2&1\end{pmatrix} \qquad (2)\ A=\begin{pmatrix}0&1&2\\2&3&1\end{pmatrix},\ B=\begin{pmatrix}4&2\\1&3\\-2&1\end{pmatrix}$$
$$ \small (3)\ A=\begin{pmatrix}1&0\\2&1\end{pmatrix},\ B=\begin{pmatrix}3&2\\-1&1\end{pmatrix} \qquad (4)\ A=\begin{pmatrix}2&-2\\1&4\end{pmatrix},\ B=\begin{pmatrix}1&-2\\1&3\end{pmatrix}$$
(1)
$$ \small AB=\begin{pmatrix}0&1&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}4&2\\1&3\\-2&1\end{pmatrix}$$
$$ \small AB=\begin{pmatrix}0\cdot4+1\cdot1+2\cdot(-2)&2\cdot0+1\cdot3+2\cdot1\end{pmatrix}$$
$$ \small AB=\begin{pmatrix}-3&5\end{pmatrix}$$
BA를 구하기 위해서는 B의 열과 A의 행이 동일해야한다.
하지만 B의 열의 수는 2개, A의 행의 수는 1개이므로 BA를 구할수 없다.
(2)
$$ \small AB=\begin{pmatrix}0&1&2\\2&3&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}4&2\\1&3\\-2&1\end{pmatrix}$$
$$ \small AB=\begin{pmatrix}0\cdot4+1\cdot1+2\cdot(-2)&0\cdot2+1\cdot3+2\cdot1\\2\cdot4+3\cdot1+1\cdot(-2)&2\cdot2+3\cdot3+1\cdot1\end{pmatrix}$$
$$ \small AB=\begin{pmatrix}-3&5\\-9&14\end{pmatrix}$$
BA를 구하기 위해서 B의 열과 A의 행이 동일해야한다.
B의 열의 개수는 2개, A의 행의 개수는 2개이므로 BA를 구할수 있다.
$$ \small BA=\begin{pmatrix}4&2\\1&3\\-2&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&1&2\\2&3&1\end{pmatrix}$$
$$ \small BA=\begin{pmatrix}4\cdot0+2\cdot2&4\cdot1+2\cdot3&4\cdot2+2\cdot1\\1\cdot0+3\cdot2&1\cdot1+3\cdot3&1\cdot2+3\cdot1\\(-2)\cdot0+1\cdot2&(-2)\cdot1+1\cdot3&(-2)\cdot2+1\cdot1\end{pmatrix}$$
$$ \small BA=\begin{pmatrix}4&10&10\\6&10&5\\2&1&-3\end{pmatrix}$$
(3)
$$ \small AB=\begin{pmatrix}1&0\\2&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3&2\\-1&1\end{pmatrix}$$
$$ \small AB=\begin{pmatrix}1\cdot3+0\cdot(-1)&1\cdot2+0\cdot1\\2\cdot3+1\cdot(-1)&2\cdot2+1\cdot1\end{pmatrix}$$
$$ \small AB=\begin{pmatrix}3&2\\5&5\end{pmatrix}$$
B의 열의 수와 A의 행의 수가 동일하므로 BA를 구할 수 있다.
$$ \small BA=\begin{pmatrix}3&2\\-1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0\\2&1\end{pmatrix}$$
$$ \small BA=\begin{pmatrix}3\cdot1+2\cdot2&3\cdot0+2\cdot1\\(-1)\cdot1+1\cdot2&(-1)\cdot0+1\cdot1\end{pmatrix}$$
$$ \small BA=\begin{pmatrix}7&2\\1&1\end{pmatrix}$$
(4)
$$ \small AB=\begin{pmatrix}2&-2\\1&4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&-2\\1&3\end{pmatrix}$$
$$ \small AB=\begin{pmatrix}2\cdot1+(-2)\cdot1&2\cdot(-2)+(-2)\cdot3\\1\cdot1+4\cdot1&1\cdot(-2)+4\cdot3\end{pmatrix}$$
$$ \small AB=\begin{pmatrix}0&-10\\5&10\end{pmatrix}$$
B의 열의 수와 A의 행의 수가 동일하므로 BA를 구할 수 있다.
$$ \small BA=\begin{pmatrix}1&-2\\1&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&-2\\1&4\end{pmatrix}$$
$$ \small BA=\begin{pmatrix}1\cdot2+(-2)\cdot1&1\cdot(-2)+(-2)\cdot4\\1\cdot2+3\cdot1&1\cdot(-2)+3\cdot4\end{pmatrix}$$
$$ \small BA=\begin{pmatrix}0&-10\\5&10\end{pmatrix}$$
$$ \small 8.\ 다음\ 행렬\ A와\ B의\ 각\ 쌍에\ 대해\ AB를\ 구하라.$$
$$ \small A \ne O이고,\ B \ne O임에도\ AB=O인\ 경우가\ 있음을\ 확인하라.$$
$$ \small (1)\ A=\begin{pmatrix}1&2\end{pmatrix},\ B=\begin{pmatrix}2\\-1\end{pmatrix} \qquad (2)\ A=\begin{pmatrix}2&-6\\-1&3\end{pmatrix},\ B=\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}$$
$$ \small (3)\ A=\begin{pmatrix}1&2&3\\3&-1&2\\4&-2&2\end{pmatrix},\ B=\begin{pmatrix}5\\5\\-5\end{pmatrix} \qquad (4)\ A=\begin{pmatrix}6&-9\\-4&6\end{pmatrix},\ B=\begin{pmatrix}6&12\\4&8\end{pmatrix}$$
(1)
$$ \small AB=\begin{pmatrix}1&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2\\-1\end{pmatrix}$$
$$ \small AB=\begin{pmatrix}1\cdot2+2\cdot(-1)\end{pmatrix}$$
$$ \small AB=\begin{pmatrix}0\end{pmatrix}$$
$$ \small AB=O$$
(2)
$$ \small AB=\begin{pmatrix}2&-6\\-1&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}$$
$$ \small AB=\begin{pmatrix}2\cdot3+(-6)\cdot1\\(-1)\cdot3+3\cdot1\end{pmatrix}$$
$$ \small AB=\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}$$
$$ \small AB=O$$
(3)
$$ \small AB=\begin{pmatrix}1&2&3\\3&-1&2\\4&-2&2\end{pmatrix}B=\begin{pmatrix}5\\5\\-5\end{pmatrix}$$
$$ \small AB=\begin{pmatrix}1\cdot5+2\cdot5+3\cdot(-5)\\3\cdot5+(-1)\cdot5+2\cdot(-5)\\4\cdot5+(-2)\cdot5+2\cdot(-5)\end{pmatrix}$$
$$ \small AB=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}$$
$$ \small AB=O$$
(4)
$$ \small AB=\begin{pmatrix}6&-9\\-4&6\end{pmatrix}\begin{pmatrix}6&12\\4&8\end{pmatrix}$$
$$ \small AB=\begin{pmatrix}6\cdot6+(-9)\cdot4&6\cdot12+(-9)\cdot8\\(-4)\cdot6+6\cdot4&(-4)\cdot12+6\cdot8\end{pmatrix}$$
$$ \small AB=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}$$
$$ \small AB=O$$
-
$$ \small 9.\ 다음에\ 주어진\ 행렬\ A,\ B,\ C에\ 대해\ A \ne B임에도\ AC=BC가\ 됨을\ 확인하라.$$
$$ \small A=\begin{pmatrix}-2&5\\7&-1\end{pmatrix},\ B=\begin{pmatrix}2&3\\1&2\end{pmatrix},\ C=\begin{pmatrix}1&2\\2&4\end{pmatrix} $$
AC=BC
$$ \small \begin{pmatrix}-2&5\\7&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&2\\2&4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&3\\1&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&2\\2&4\end{pmatrix}$$
$$ \small \begin{pmatrix}(-2)\cdot1+5\cdot2&(-2)\cdot2+5\cdot4\\7\cdot1+(-1)\cdot2&7\cdot2+(-1)\cdot4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\cdot1+3\cdot2&2\cdot2+3\cdot4\\1\cdot1+2\cdot2&1\cdot2+2\cdot4\end{pmatrix}$$
$$ \small \begin{pmatrix}8&16\\5&10\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}8&16\\5&10\end{pmatrix}$$
$$ AB=BC\ 이다.$$
$$ \small 10.\ 대칭행렬에\ 관한\ 물음에\ 답하라.$$
$$ \small (1)\ 다음\ 행렬이\ 대칭행렬이기\ 위한\ x,\ y,\ z의\ 조건을\ 구하라.$$
$$ \small \begin{pmatrix}2&3&x+y\\x&1&x-1\\z&y&-2\end{pmatrix}$$
$$ \small (2)\ 행렬\ A,\ B가\ 다음과\ 같고\ 상수\ c=3일\ 때\ [정리\ 3.4]의\ (1),\ (2),\ (3),\ (4)를\ 확인하라.$$
$$ \small A=\begin{pmatrix}1&2&3\\0&-2&1\\0&0&2\end{pmatrix},\ B=\begin{pmatrix}2&1&-4\\3&4&0\\-1&0&3\end{pmatrix}$$
$$ \small (3)\ 다음\ 행렬\ A와\ B는\ 대칭행렬이다.\ AB=BA인지\ 확인하고\ AB도\ 대칭행렬인지\ 확인하라.$$
$$ \small A=\begin{pmatrix}4&2\\2&-1\end{pmatrix},\ B=\begin{pmatrix}3&2\\2&-2\end{pmatrix}$$
(1)
대칭행렬이기 위한 조건은
1. 정방행렬
$$ \small 2.\ a_{ij}=a_{ji}$$
3. 주대각원소를 기준으로 대칭되는 위치의 행렬원소가 서로 같은 행렬이다.
즉, 아래와 같다고 이야기 할수 있다.
$$ \small x=3 $$
$$ \small z=x+y$$
$$ \small y=x-1$$
그러므로 y의 값은 2, z의 값은 5이다.
이를 이용하여 대칭행렬로 변경하게 되면
$$ \small \begin{pmatrix}2&3&5\\3&1&2\\5&2&-2\end{pmatrix}$$
(2)
[정리 3.4]
$$ \small (1)\ (A^{T})^{T}=A \qquad (2)\ (A+B)^{T}=A^{T}+B^{T} $$
$$ \small (3)\ (AB)^{T}=B^{T}A^{T} \qquad (4)\ (cA)^{T}=cA^{T} $$
(2-1).
$$ \small (A^{T})^{T}$$
$$ \small \Biggl(\begin{pmatrix}1&2&3\\0&-2&1\\0&0&2\end{pmatrix}^{T}\Biggr)^{T}=\begin{pmatrix}1&2&3\\0&-2&1\\0&0&2\end{pmatrix}$$
$$ \small \begin{pmatrix}1&0&0\\2&-2&0\\3&1&2\end{pmatrix}^{T}=\begin{pmatrix}1&2&3\\0&-2&1\\0&0&2\end{pmatrix}$$
$$ \small \begin{pmatrix}1&2&3\\0&-2&1\\0&0&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&2&3\\0&-2&1\\0&0&1\end{pmatrix}$$
(2-2).
$$ \small (A+B)^{T}=A^{T}+B^{T}$$
$$ \small \Biggl( \begin{pmatrix}1&2&3\\0&-2&1\\0&0&2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}2&1&-4\\3&4&0\\-1&0&3\end{pmatrix} \Biggr)^{T}=\begin{pmatrix}1&2&3\\0&-2&1\\0&0&2\end{pmatrix}^{T}+\begin{pmatrix}2&1&-4\\3&4&0\\-1&0&3\end{pmatrix}^{T}$$
$$ \small \begin{pmatrix}3&3&-1\\3&2&1\\-1&0&5\end{pmatrix}^{T}=\begin{pmatrix}1&0&0\\2&-2&0\\3&1&2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}2&3&-1\\1&4&0\\-4&0&3\end{pmatrix}$$
$$ \small \begin{pmatrix}3&3&-1\\3&2&0\\-1&1&5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&3&-1\\3&2&0\\-1&1&5\end{pmatrix}$$
(2-3).
$$ \small (AB)^{T}=B^{T}A^{T}$$
$$ \small \Biggl( \begin{pmatrix}1&2&3\\0&-2&1\\0&0&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&1&-4\\3&4&0\\-1&0&3\end{pmatrix} \Biggr)^{T}=\begin{pmatrix}2&1&-4\\3&4&0\\-1&0&3\end{pmatrix}^{T}\begin{pmatrix}1&2&3\\0&-2&1\\0&0&2\end{pmatrix}^{T}$$
$$ \small \begin{pmatrix}1\cdot2+2\cdot3+3\cdot(-1)&1\cdot1+2\cdot4+3\cdot0&1\cdot(-4)+2\cdot0+3\cdot3\\0\cdot2+(-2)\cdot3+1\cdot(-1)&0\cdot1+(-2)\cdot4+1\cdot0&0\cdot(-4)+(-2)\cdot0+1\cdot3\\0\cdot2+0\cdot3+2\cdot(-1)&0\cdot1+0\cdot4+2\cdot0&0\cdot(-4)+0\cdot0+2\cdot3\end{pmatrix}^{T}=\begin{pmatrix}2&3&-1\\1&4&0\\-4&0&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0&0\\2&-2&0\\3&1&2\end{pmatrix}$$
$$ \small \begin{pmatrix}5&9&5\\-7&-8&3\\-2&0&6\end{pmatrix}^{T}=\begin{pmatrix}2\cdot1+3\cdot2+(-1)\cdot3&2\cdot0+3\cdot(-2)+(-1)\cdot1&2\cdot0+3\cdot0+(-1)\cdot2\\1\cdot1+4\cdot2+0\cdot3&1\cdot0+4\cdot(-2)+0\cdot1&1\cdot0+4\cdot0+0\cdot2\\(-4)\cdot1+0\cdot2+3\cdot3&(-4)\cdot0+0\cdot(-2)+3\cdot1&(-4)\cdot0+0\cdot0+3\cdot2\end{pmatrix}$$
$$ \small \begin{pmatrix}5&-7&-2\\9&-8&0\\5&3&6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5&-7&-2\\9&-8&0\\5&3&6\end{pmatrix}$$
(2-4).
$$ \small (cA)^{T}=cA^{T} $$
$$ \small \Biggl(c\begin{pmatrix}1&2&3\\0&-2&1\\0&0&1\end{pmatrix} \Biggr)^{T}=c\begin{pmatrix}1&2&3\\0&-2&1\\0&0&1\end{pmatrix}^{T}$$
$$ \small \begin{pmatrix}c&2c&3c\\0&-2c&c\\0&0&c\end{pmatrix}^{T}=c\begin{pmatrix}1&0&0\\2&-2&0\\3&1&1\end{pmatrix}$$
$$ \small \begin{pmatrix}c&0&0\\2c&-2c&0\\3c&c&c\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}c&0&0\\2c&-2c&0\\3c&c&c\end{pmatrix}$$
(3)
AB=BA
$$\small \begin{pmatrix}4&2\\2&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3&2\\2&-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&2\\2&-2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}4&2\\2&-1\end{pmatrix}$$
$$ \small \begin{pmatrix}4\cdot3+2\cdot2&4\cdot2+2\cdot(-2)\\2\cdot3+(-1)\cdot2&2\cdot2+(-1)\cdot(-2)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\cdot4+2\cdot2&3\cdot2+2\cdot(-1)\\2\cdot4+(-2)\cdot2&2\cdot2+(-2)\cdot(-1)\end{pmatrix}$$
$$ \small \begin{pmatrix}16&4\\4&6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}16&4\\4&6\end{pmatrix}$$
BA의 경우도 정방행렬이며,
주대각원소를 기준으로 대칭되는 행렬원소가 같아 대칭행렬이라고 할 수 있다.