1. 연립방적식에 대한 확대행렬
[문제 1]
[답]
일차연립방정식의 확대행렬은
C = (A | B)로 표현하는데,
즉, 일차연립방정식의 미지수를 제외한
계수와 상수만 가지고 구하는 것이다.
[문제 2]
[답]
[문제 3]
[답]
[문제 4]
[답]
2. 행제형 행렬과 소거행제행 행렬을 고르시오.
[답]
1. 행제형 행렬
- 영행은 마지막 행에 있다.
- 영행이 아닌 행의 첫번째 원소는 선도원소라 하며, 1이다.
- 영행이 아닌 두행에 대해 i행과 i+1행에서 i의 선도원소는 i+1보다 앞에 있다.
2. 소거행제형 행렬
- 행제형 행렬에서 i번째 행에 j열에 선도원소가 존재하면 다른 열의 원소는 0이다.
따라서, 행제형 행렬은 A, B, D, E, F, I, J
소거행제형 행렬은 A, B, E
3. 다음 행렬 A에 대해 물음에 답하라.
(1) 행렬 A를 행제형 행렬로 변환하라.
(2) 행렬 A를 미지수 x, y, z인 일차연립방정식의 확대행렬이라고 가정할 때 해를 구하라.
(1)번에서 수행하였던 행제행 행렬을 이용하고 해를 구하면 편하다.
세번째 행을 통해 z=8임을 알고 있으므로, 두번째행인 y는 8이다.
그리고 첫번째 행에 대입하여 x는 -6임을 알 수 있다.
4. A와 B에 대한 행상등 행렬 3개를 구하라
1. 행상등
- 기본행연산을 적용하여 다른 행렬을 얻을수 있는 경우이다.
위의 설명을 통해 A행렬의 경우,
(1). 행을 교환한다.
(2). 0이 아닌 상수를 곱한다.
(3). i행에 상수를 곱하고 j에 더한다.
B행렬의 경우,
(1). 행을 교환한다.
(2). 0이 아닌 상수를 곱한다.
(3). i행에 상수를 곱하고 j에 더한다.
5. 일차연립방정식을 가우스 소거법으로 풀어라.
[문제 1]
[답]
1. 일차 연립 방정식을 확대행렬로 변환한다.
2. 기본행연산을 이용하여 행제형으로 변환한다.
3. 후진대입을 이용하여 해를 구한다.
이를 통해, 세번째 행에서
z값을 구한 것을 두번째 행에 더하게 되면
y와 z값을 이용해 첫번째 행에 대입한다.
이므로, x의 값은
[문제 2]
[답]
1. 일차 연립 방정식을 확대행렬로 변환한다.
2. 기본행연산을 이용하여 행제형으로 변환한다.
3. 후진대입을 이용하여 해를 구한다.
(1) 세번째 항을 통해 z의 값을 확인 할 수 있다.
(2) (1)에서 구한 값을 이용하여 두번째 항에 대입하여 y의 값을 도출한다.
(3) 앞에서 구한 y와 z를 이용하여 x의 값을 구한다.
[문제 3]
$$ \small \left\{ \begin{array}{r@{}r@{}r@{}r@{}r@{}r@{}r@{}r@{}l} v & {}+{} & 2w & {}+{} & 3x & {}{} & & {}+{} & 2z & = -3 \\& {}{} & 2w & {}{} & & {}+{} & 2y & {}-{} & 4z & = 6 \\& {}{} & & {}{} & x & {}+{} & & {}-{} & z & = 2\end{array}\right.$$
[답]
1. 일차 연립방정식을 확대행렬로 변경한다.
$$\begin{pmatrix}1&2&3&0&2&-3\\0&2&0&2&-4&6\\0&0&1&0&-1&2\end{pmatrix}$$
2. 기본행 연산을 통해 행제형행렬로 변환한다.
$$\underrightarrow{R_{2}(\frac{1}{2})}\begin{pmatrix}1&2&3&0&2&-3\\0&1&0&1&-2&3\\0&0&1&0&-1&2\end{pmatrix}$$
3. 후진대입법을 이용하여 해를 구한다.
$$ \small \left \{ \begin{array}{r@{}r@{}r@{}r@{}r@{}I}v&{}+{}&2w&{}+{}&3x&{}{}&&{}+{}&2z&=-3\\&{}{}&w&{}{}&&{}+{}&y&{}-{}&2z&=3\\&{}{}&&{}{}&x&{}{}&&{}-{}&z{}=2\end{array}\right.$$
세번째 행에서 z=t라고 정의하고 x의 값을 구한다.
$$x=t+2$$
y는 s로 정의하고 두번째행에 대입한다.
$$\begin{align}w+y-2z&=3\\w+s-2t&=3\end{align}$$
$$w=-s+2t+3$$
이 된다.
이를 통해 첫번쨰 행에 대입하여 최종 결과를 구한다.
$$\begin{align}v+2w+3x+2z&=-3\\v+2(-s+2t+3)+3(t+2)+2t&=-3\\v-2s+4t+6+3t+6+2t&=-3\\v-2s+9t+12&=-3\\v=2s-9t-15\end{align}$$
이 된다.
최종적으로
(2s-9t-15, -s+2t+3, t+2, s, t)
이다.
[문제 4]
$$ \small \left \{\begin{array}{r@{}r@{}r@{}r@{}l}&{}{}&3y&{}+{}&6z&=12\\3x&{}+{}&7y&{}+{}&5z&=19\\2x&{}-{}&y&{}+{}&4z&=9\end{array}\right.$$
[답]
1. 일차 연립방정식을 확대행렬로 변경한다.
$$\begin{pmatrix}0&3&6&12\\3&7&5&19\\2&-1&4&9\end{pmatrix}$$
2. 기본행 연산을 통해 행제형행렬로 변환한다.
$$\underrightarrow{R_{1}(\frac{1}{3})} \begin{pmatrix}0&1&2&4\\3&7&5&19\\2&-1&4&9\end{pmatrix}$$
$$\underrightarrow{R_{3}(\frac{1}{2})} \begin{pmatrix}0&1&2&4\\3&7&5&19\\1&-\frac{1}{2}&2&\frac{9}{2}\end{pmatrix}$$
$$\underrightarrow{R_{3.1}} \begin{pmatrix}1&-\frac{1}{2}&2&\frac{9}{2}\\3&7&5&19\\0&1&2&4\end{pmatrix}$$
$$\underrightarrow{R_{3.2}} \begin{pmatrix}1&-\frac{1}{2}&2&\frac{9}{2}\\0&1&2&4\\3&7&5&19\end{pmatrix}$$
$$\underrightarrow{R_{1.3}(-3)} \begin{pmatrix}1&-\frac{1}{2}&2&\frac{9}{2}\\0&1&2&4\\0&\frac{17}{2}&-1&\frac{11}{2}\end{pmatrix}$$
$$\underrightarrow{R_{3}(2)} \begin{pmatrix}1&-\frac{1}{2}&2&\frac{9}{2}\\0&1&2&4\\0&17&-2&11\end{pmatrix}$$
$$\underrightarrow{R_{3.3}(-17)} \begin{pmatrix}1&-\frac{1}{2}&2&\frac{9}{2}\\0&1&2&4\\0&0&-36&-57\end{pmatrix}$$
$$\underrightarrow{R_{3}(-\frac{1}{36})} \begin{pmatrix}1&-\frac{1}{2}&2&\frac{9}{2}\\0&1&2&4\\0&0&1&\frac{19}{12}\end{pmatrix}$$
3. 후진대입법을 이용하여 해를 구한다.
(1). z의 값은 $$\frac{19}{12}$$
(2). z의 값을 이용하여 두번째 행에 대입한다.
$$y+2(\frac{19}{12})=4$$
$$y+\frac{38}{12}=4$$
$$y=4-\frac{38}{12}$$
$$y=\frac{10}{12}$$
$$y=\frac{5}{6}$$
(3). 앞에 구해진 y와 z의 값으로 첫행에 대입하여 x를 구한다.
$$x-(\frac{1}{2})(\frac{10}{12})+2(\frac{19}{12})=\frac{9}{2}$$
$$x-\frac{5}{12}+\frac{38}{12}=\frac{54}{12}$$
$$x=\frac{54}{12}+\frac{5}{12}-\frac{38}{12}$$
$$x=\frac{21}{12}$$
$$x=\frac{7}{4}$$
최종적으로
$$(\frac{7}{4}. \frac{5}{6}. \frac{19}{12})$$
6. 5의 문제를 가우스-조르단 소거법으로 풀어라.
[문제 1]
$$ \small \left \{\begin{array}{r@{}r@{}r@{}r@{}l}2x&{}-{}&y&{}+{}&2z&=3\\x&{}+{}&2y&{}-{}&z&=2\\3x&{}+{}&2y&{}+{}&z&=6\end{array}\right.$$
[답]
위에서 수행한 행렬을 사용하지만, 후진대입법을 사용하지 않고 소거행제형 행렬로 변환하여 구한다.
그러므로 위에서 구한 행제형 행렬을 가져오자.
(1). 행제형행렬
$$\begin{pmatrix}1&2&-1&2\\0&1&-1&0\\0&0&1&-\frac{1}{6}\end{pmatrix}$$
(2). 소거행제형으로 변환하면
$$\underrightarrow{R_{2,1}(-2)}\begin{pmatrix}1&0&1&2\\0&1&-1&0\\0&0&1&-\frac{1}{6}\end{pmatrix}$$
$$\underrightarrow{R_{3,1}(-1)}\begin{pmatrix}1&0&0&\frac{13}{6}\\0&1&-1&0\\0&0&1&-\frac{1}{6}\end{pmatrix}$$
$$\underrightarrow{R_{3,2}(1)}\begin{pmatrix}1&0&0&\frac{13}{6}\\0&1&0&-\frac{1}{6}\\0&0&1&-\frac{1}{6}\end{pmatrix}$$
따라서 소거행제형으로 변환된 행렬에 대한 방정식은
$$\small \left \{\begin{array}{r@{}r@{}r@{}r@{}I}x&{}{}&&{}{}&&=\frac{13}{6}\\&{}{}&y&{}{}&&=-\frac{1}{6}\\&{}{}&&{}{}&z&=-\frac{1}{6}\end{array}\right.$$
이에 따라 구한 해는 $$x=\frac{13}{6}, y=-\frac{1}{6}, z=-\frac{1}{6}$$ 이다.
[문제 2]
$$\small \left \{\begin{array}{r@{}r@{}r@{}r@{}I}x&{}+{}&y&{}-{}&2z&=5\\x&{}-{}&y&{}+{}&z&=0\\3x&{}+{}&2y&{}+{}&4z&=7\end{array}\right.$$
[답]
앞서 [문제 1]처럼 그대로 수행한다.
(1). 행제형행렬
$$\begin{pmatrix}1&1&-2&5\\0&1&-10&8\\0&0&1&-\frac{11}{17}\end{pmatrix}$$
(2). 소거행제형으로 변환한다.
$$\underrightarrow{R_{2,1}(-1)}\begin{pmatrix}1&0&8&-3\\0&1&-10&8\\0&0&1&-\frac{11}{17}\end{pmatrix}$$
$$\underrightarrow{R_{3,1}(-8)}\begin{pmatrix}1&0&0&\frac{37}{17}\\0&1&-10&8\\0&0&1&-\frac{11}{17}\end{pmatrix}$$
$$\underrightarrow{R_{3,2}(10)}\begin{pmatrix}1&0&0&\frac{37}{17}\\0&1&0&\frac{26}{17}\\0&0&1&-\frac{11}{17}\end{pmatrix}$$
따라서 소거행제형으로 변환된 행령의 일차연립방정식은
$$\small \left \{\begin{array}{r@{}r@{}r@{}r@{}I}x&{}{}&&{}{}&&=\frac{37}{17}\\&{}{}&y&{}{}&&=\frac{26}{17}\\&{}{}&&{}{}&z&=-\frac{11}{17}\end{array}\right.$$
이에 따른 해는 $$x=\frac{37}{17}, y=\frac{26}{17}, z=\frac{11}{17}$$ 이다.
[문제 3]
$$ \small \left\{ \begin{array}{r@{}r@{}r@{}r@{}r@{}r@{}r@{}r@{}l} v & {}+{} & 2w & {}+{} & 3x & {}{} & & {}+{} & 2z & = -3 \\& {}{} & 2w & {}{} & & {}+{} & 2y & {}-{} & 4z & = 6 \\& {}{} & & {}{} & x & {}+{} & & {}-{} & z & = 2\end{array}\right.$$
[답]
(1). 행제형행렬
$$\begin{pmatrix}1&2&0&0&5&-9\\0&1&0&1&-2&3\\0&0&1&0&-1&2\end{pmatrix}$$
(2). 소거행제형으로 변환한다.
$$\underrightarrow{R_{2, 1}(-2)}\begin{pmatrix}1&0&0&9&12&-15\\0&1&0&1&-2&3\\0&0&1&0&-1&2\end{pmatrix}$$
따라서 소거행제형에서 일차연립방정식으로 변환하게 되면
$$ \small \left\{ \begin{array}{r@{}r@{}r@{}r@{}r@{}I}v&{}{}&&{}{}&&{}-{}&2y&{}+{}&9z&=-15\\&{}{}&w&{}{}&&{}+{}&y&{}-{}&2z&=3\\&{}{}&&{}{}&x&{}{}&&{}-{}&z&=2\end{array}\right.$$
이므로, $$y=s, z=t$$로 대입하면
$$v=2s-9t-15, w=-s+2t+3, x=z+2, y=s, z=t$$
이다.
[문제 4]
$$ \small \left \{\begin{array}{r@{}r@{}r@{}r@{}l}&{}{}&3y&{}+{}&6z&=12\\3x&{}+{}&7y&{}+{}&5z&=19\\2x&{}-{}&y&{}+{}&4z&=9\end{array}\right.$$
[답]
(1). 행제형 행렬
$$\begin{pmatrix}1&-\frac{1}{2}&2&\frac{9}{2}\\0&1&2&4\\0&0&1&\frac{19}{12}\end{pmatrix}$$
(2). 소거행제형 행렬로 변환
$$\underrightarrow{R_{2, 1}(\frac{1}{2})}\begin{pmatrix}1&0&3&\frac{13}{2}\\0&1&2&4\\0&0&1&\frac{19}{12}\end{pmatrix}$$
$$\underrightarrow{R_{3, 1}(-3)}\begin{pmatrix}1&0&0&\frac{7}{4}\\0&1&2&4\\0&0&1&\frac{19}{12}\end{pmatrix}$$
$$\underrightarrow{R_{3, 2}(-2)}\begin{pmatrix}1&0&0&\frac{7}{4}\\0&1&0&\frac{5}{6}\\0&0&1&\frac{19}{12}\end{pmatrix}$$
(3). 소거행제형 행렬을 일차연립방정식으로 변환
$$ \small \left \{ \begin{array}{r@{}r@{}r@{}I}x&{}{}&&{}{}&&=\frac{7}{4}\\&{}{}&y&{}{}&&=\frac{5}{6}\\&{}{}&&{}{}&z&=\frac{19}{12}\end{array}\right.$$
따라서 $$(\frac{7}{4}, \frac{5}{6}, \frac{19}{12})$$이다.
7. 아래 일차연립방정식에 대한 물음에 답하라.
$$\small\left\{\begin{array}{r@{}r@{}r@{}I}x&{}+{}&y&{}-{}&3z&=5\\&{}{}&2y&{}+{}&6z&=2\\&{}{}&&{}{}&3z&=-6 \end{array} \right. $$
[문제 1]
확대행렬을 구하여라.
[답]
$$\begin{pmatrix}1&1&-3&5\\0&2&6&2\\0&0&3&-6\end{pmatrix}$$
[문제 2]
확대행렬에 $$R_{2}(\frac{1}{2}), R_{3}(\frac{1}{3})$$을 차례로 적용한 행렬을 구하여라.
[답]
$$\underrightarrow{R_{2}(\frac{1}{2})} \begin{pmatrix}1&1&-3&5\\0&1&3&1\\0&0&3&-6 \end{pmatrix}$$
$$\underrightarrow{R_{3}(\frac{1}{3})} \begin{pmatrix}1&1&-3&5\\0&1&3&1\\0&0&1&-2 \end{pmatrix}$$
$$\begin{pmatrix}1&1&-3&5\\0&1&3&1\\0&0&1&-2\end{pmatrix}$$
[문제 3]
가우스-조르단 소거법을 이용해 해를 구하기 위해 "문제 2"에 적용하는 기본행연산을 나열하고,
결과를 이용해 방정식의 해를 구하여라.
[답]
소거행제형 행렬로 변환하기 위한 순서
$$(1). R_{2, 1}(-1)$$
$$(2). R_{3, 1}(6)$$
$$(3). R_{3, 2}(-3)$$
각 순서에 대한 행렬의 결과
$$\underrightarrow{R_{2, 1}(-1)}\begin{pmatrix}1&0&-6&4\\0&1&3&1\\0&0&1&-2\end{pmatrix}$$
$$\underrightarrow{R_{3, 1}(6)}\begin{pmatrix}1&0&0&-8\\0&1&3&1\\0&0&1&-2\end{pmatrix}$$
$$\underrightarrow{R_{3, 2}(-3)}\begin{pmatrix}1&0&0&-8\\0&1&0&7\\0&0&1&-2\end{pmatrix}$$
소거행제형 행렬의 결과를 일차 연립방정식으로 변경하게 되면
$$\small \left \{ \begin{array}{r@{}r@{}r@{}I}x&{}{}&&{}{}&&=-8\\&{}{}&y&{}{}&&=7\\&{}{}&&{}{}&z&=-2 \end{array} \right.$$
방정식의 해는 $$(-8, 7, -2)$$ 이다.